Posts

广度优先遍历（BFS） BFS(Breadth-First-Search)，参考对树的层序遍历 对上面的图从①出发进行BFS得到序列： ①②⑤ ⑥ ③⑦ ④⑧ 若采用不同的储存结构，可能会得到不同的遍历结果（这个差异主要来自寻找邻接点的过程），对于邻接矩阵存储的图，由于邻接矩阵是唯一的，所以BFS序列也是唯一的；同理，邻接表存储的图BFS序列不唯一。 BFS算法 与树的层序遍历不同的是，由于图中存在回路，遍历过程中会出现重复访问的问题，故可构造visited数组，用来标记已访问过的数组。 此外，还应针对非连通图做额外的判断，遍历完一个连通分量（极大连通子图）后，遍历查找visited数组中是否还存在未遍历的，如果有即为另一连通分量，继续调用BFS即可。 void BFS(Graph G,int v); bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; SqQueue Q;//辅助队列 void BFSTraverse(Graph G){ //初始化visited数组 for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) {//使下标从1开始 visited[i]=false; } //对非连通图的处理 for (int v = 0; v < G.vexnum; ++v) { if (!visited[v]) BFS(G,v); } } //从顶点v出发广度优先遍历图G void BFS(Graph G,int v){ visit(v); visited[v]=true; EnQueue(Q,v);//顶点v入队列Q while(!isEmpty(Q)){ DeQueue(Q,v);//顶点v出队列Q for (w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))//处理v的所有邻接点 if (!...

邻接矩阵 Vextex/Vertices 顶点; Martix 矩阵; Arc 弧. 代码实现 #define MaxVextexNum 100//容许存储的最大顶点数 typedef struct{ char Vex[MaxVextexNum]; //可以将定点之间的关系用int 类型01表示，也可定义为boolean/枚举类型，占空间更小 bool Edge[MaxVextexNum][MaxVextexNum]; int vexnum,arcnum;//顶点数和弧|边数 }MGraph; 即 找度 根据邻接矩阵计算结点的度TD 无向图 有向图 $TD(V_i)$ 第i行（或i列）中非零元素的个数 $ID(V_i)$ : i行非零元素个数 $OD(V_i)$: i列非零元素个数 TD=ID+OD 对于带权图（网） #define MaxVextexNum 100//容许存储的最大顶点数 #define INIFINITY //宏定义，表示无穷 typedef char VextexType;//顶点 typedef int EdgeType;//权值 typedef struct{ VextexType Vex[MaxVextexNum]; EdgeType Edge[MaxVextexNum][MaxVextexNum]; int vexnum,arcnum; }MGraph; 复杂度 空间复杂度来自数组Vex[]跟Edge[]，故空间复杂度为$|V|+|V|^2=O(|V|^2)$，即为顶点数量的二次方，故此方法更适合存储稠密图，不然有较多浪费。...

平衡二叉树是Adelson-Velsky和 Landis发明，故命名为AVL树。也称平衡二叉查找树。 ✨特点： ①左子树<根<右子树； ②任一节点，左右子树高度之差不超过1. 平衡因子 $平衡因子=左子树高-右子树高$ AVL树的插入操作 AVL树插入新结点导致不平衡之后，只需将最小不平衡子树平衡，其他祖先结点会随之恢复平衡。 调整最小不平衡子树 注意：调整过后必须保证其BST的特性，即“左子树1.LL 即在以A为根节点的树的左孩子B的左子树上插入新结点，导致A成为最小不平衡子树。 调整过程如下： 2.RR 即在以A为根节点的树的右孩子B的右子树上插入新结点，导致A成为最小不平衡子树。 调整过程如下： 3.LR 即在以A为根节点的树的左孩子B的右子树上插入新结点，导致A成为最小不平衡子树。 观察得知，所进行的调整就是保证$|平衡因子|<=1$，因此若插入操作使得 左 - 右 > 1 => 右旋 右 - 左 > 1 =>左旋 而当进行了LR插入操作之后，导致以A为根节点的树 左-右>1，理应右旋但是，由上述结果可知，经过右旋之后： 可以看到，为了保证其左子树<根<右子树的特性，经过调整后，依然存在右-左>1的问题； 因此，对于LR型不能简单进行右旋调整，应该先将其转化为LL型 (左旋)，再进行右旋； 为此，我们需要将BR结点展开，之后旋转成为LL型插入 可以看到，展开后又出现两种插入情况CL&CR，但其实两者处理大同小异： CR插入调整过程如下： 4.RL 即在以A为根节点的树的右孩子B的左子树上插入新结点，导致A成为最小不平衡子树。 参考LR型，其调整过程如下： 查找操作效率分析 Assuming that, $n_h$表示深度为h的平衡树中含有的最少结点，则 $n_0=0$,$n_1=1$,$n_2=2$…存在递归关系 $n_h=n_{h-1}+n_{h-2}+1$,即左右子树结点之和+根节点。 可以证明(AVL证明)，n个结点的平衡二叉树最大深度数量级为$\log_2n$，则其查找操作的复杂度为$O(\log_2n)$

基本概念 1.结点的权 每个结点带有的具有某种现实意义的数值(比如代表重要性等) 2.结点的带权路径长度 从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积 3.树的带权路径长度 树中所有叶结点的带权路径长度之和（WPL, Weighted Path Length） $WPL=\sum_{i=1}^{n}w_il_i$ ✨4.哈夫曼树 在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树 构造哈夫曼树 给定n个权值分别为 $w_1,w_2,…,w_n$ 的结点，其构造过程描述如下： ① 将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F ② 构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。 ③ 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。 ④ 重复步骤②和③，直至F中只剩下一棵树为止。 假设给定结点在经过步骤①之后如下 则其②③④步骤为： $WPL_{min}=1*7+2*3+3*2+4*1+4*2=31$ 或者 $WPL_{min}=1*7+3*(1+2+2+3)=31$ 👇👇👇👇👇👇 哈夫曼树特点： ① 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。 ② 哈夫曼树的结点总数为2n-1。 ③ 哈夫曼树中不存在度为1的结点。 ④ 哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优。 哈夫曼编码 固定长度编码 如ASCII码 可变长度编码 前缀编码 没有一个编码是另一个编码的前缀 哈夫曼编码 由哈夫曼树得到哈夫曼编码——字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，根据之前介绍的方法构造哈夫曼树。 ✨ 应用 可用于数据压缩 如图，为英文字母使用频率表，若不进行压缩，第 i 个字母频率用$l_i表示$，路径长至少为5($2^4<26<2^5$)，则 $WPL=5×\sum_{i=1}^{n}l_i$=500 若通过构造哈夫曼树进行哈夫曼编码 则$WPL_{min}=$ $v=\frac{WPL_{min}}{WPL}$

普通树 对于一棵普通类型的树形结构，可将其转化为二叉树之后再参考二叉树的方法进行相关操作。 孩子兄弟表示法（链式结构） 通过此方法可将普通树转化为二叉树 //孩子兄弟即Child, Sibling typedef struct CSNode{ Elemtype data; struct CSNode *firstchild,*nextsibling;//第一个孩子和右兄弟指针,等价于*lchild,*rchild }CSNode,*CSTree 图示如下 树的遍历 1.深度优先遍历（先根遍历&后根遍历） 先根遍历 若树非空，先访问根结点，再依次对每棵子树进行先根遍历(递归)。 对如上图所示的树进行先根遍历： A B C D A (BE ) (CF) (DG) A (BEH) (CF) (DG) 即先根遍历序列为A B E H C F D G 发现与通过“孩子兄弟法”将树转为二叉树后的先序遍历序列相同 后根遍历 若树非空，先依次对每棵子树进行后根遍历，最后再访问根结点。 对如上图所示的树进行后根遍历： B C D A (E B) (F C) (G D) A (H E B) (F C) (GD) A...

线索二叉树 WHY 方便从任一个结点出发，找到其前驱、后继；方便遍历 普通二叉树中，对任意一个结点，若想找到其前驱/后继结点，只能再进行一次相应的前/中/后序遍历才行，复杂度太高。 为此，我们引入前驱线索，后继线索的概念。其中，前驱线索由左孩子指针充当，后继线索由右孩子指针充当。 typedef struct BiTNode{ ElemType data; struct BiTNode *lchild,*rchild; }BiTNode,*BiTree; 构建出如下图所示的结构： 但是， *lchild(*rchild)有可能指向存在的结点，为此我们引入线索标志。当线索标志为1时，表示孩子指针指向前驱后继，线索标志为0时，表示孩子指针指向左右孩子。此时 typedef struct ThreadNode{ ElemType data; struct ThreadNode *lchild,*rchild; int ltag,rtag;//左右线索标志 }ThreadNode,*ThreadTree; 这样，每一个线索链表中的结点就可以图示为: HOW 如何分别用代码实现前中后序遍历下的线索链表 1.中序线索化 其实中序线索化的过程就是再进行一遍中序遍历，为每个节点添加额外的信息(lchild, rcild, ltag, rtag). 🍔初始定义结构体 typedef struct ThreadNode{ ElemType data; struct ThreadNode *lchild,*rchild; int ltag,rtag; }ThreadNode,*ThreadTree; 🍔定义前驱指针 ThreadNode *pre=NULL; 前驱指针还可以定义在局部，这里为了方便起见，将pre定义为全局。 🍔开始定义处理函数 void CreatInThread(ThreadTree T){ pre=NULL; if(T!=NULL){ InThread(T); if(pre->rchild==NULL){ pre->rtag=1; } } } 注意：最后一个节点单独处理...