Huffman

基本概念 1.结点的权 每个结点带有的具有某种现实意义的数值(比如代表重要性等) 2.结点的带权路径长度 从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积 3.树的带权路径长度 树中所有叶结点的带权路径长度之和（WPL, Weighted Path Length） $WPL=\sum_{i=1}^{n}w_il_i$ ✨4.哈夫曼树 在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树 构造哈夫曼树 给定n个权值分别为 $w_1,w_2,…,w_n$ 的结点，其构造过程描述如下： ① 将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F ② 构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。 ③ 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。 ④ 重复步骤②和③，直至F中只剩下一棵树为止。 假设给定结点在经过步骤①之后如下 则其②③④步骤为： $WPL_{min}=1*7+2*3+3*2+4*1+4*2=31$ 或者 $WPL_{min}=1*7+3*(1+2+2+3)=31$ 👇👇👇👇👇👇 哈夫曼树特点： ① 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。 ② 哈夫曼树的结点总数为2n-1。 ③ 哈夫曼树中不存在度为1的结点。 ④ 哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优。 哈夫曼编码 固定长度编码 如ASCII码 可变长度编码 前缀编码 没有一个编码是另一个编码的前缀 哈夫曼编码 由哈夫曼树得到哈夫曼编码——字符集中的每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值，根据之前介绍的方法构造哈夫曼树。 ✨ 应用 可用于数据压缩 如图，为英文字母使用频率表，若不进行压缩，第 i 个字母频率用$l_i表示$，路径长至少为5($2^4<26<2^5$)，则 $WPL=5×\sum_{i=1}^{n}l_i$=500 若通过构造哈夫曼树进行哈夫曼编码 则$WPL_{min}=$ $v=\frac{WPL_{min}}{WPL}$